机器学习-牛顿方法&指数分布族&GLM

回头再温习一下Andrew Ng的机器学习视频课,顺便把没写完的笔记写完。

本节内容

  • 牛顿方法
  • 指数分布族
  • 广义线性模型

之前学习了梯度下降方法,关于梯度下降(gradient descent),这里简单的回顾下【参考感知机学习部分提到的梯度下降(gradient descent)】。在最小化损失函数时,采用的就是梯度下降的方法逐步逼近最优解,规则为$\theta := \theta - \eta \nabla_{\theta} \ell(\theta)$。其实梯度下降属于一种优化方法,但梯度下降找到的是局部最优解。如下图:

![这里写图片描述](http://img.blog.csdn.net/20151006094200515)

本节首先讲解的是牛顿方法(NewTon’s Method)。牛顿方法也是一种优化方法,它考虑的是全局最优。接着还会讲到指数分布族和广义线性模型。下面来详细介绍。

1.牛顿方法

现在介绍另一种最小化损失函数$\ell(\theta)$的方法——牛顿方法,参考Approximations Of Roots Of Functions – Newton’s Method
。它与梯度下降不同,其基本思想如下:

假设一个函数$f(x) = 0$,我们需要求解此时的$x$值。如下图所示:

![这里写图片描述](http://img.blog.csdn.net/20151006095845371) 图1 $f(x0) = 0, a1, a2, a3, ... 逐步接近 x0$.

在 $a_1$点的时候,$f(x)$切线的目标函数$y = f(a_1) + f ‘(a_1)(x – a_1)$. 由于$(a_2,0)$在这条线上,所以我们有$ 0 = f(a_1) + f ‘(a_1)(a_2 – a_1)$,so:

$$a_2 = a_1-\frac{f(a_1)}{f’(a_1)}$$

同理,在$a_2$点的时候,切线的目标函数$y = f(a_2) + f ‘(a_2)(x – a_2)$. 由于$(a_3,0)$在这条线上,所以我们有$ 0 = f(a_2) + f ‘(a_2)(a_3– a_2)$,so:

$$a_3 = a_2-\frac{f(a_2)}{f’(a_2)}$$

假设在第$n$次迭代,有$f(a_n)=0$,那么此时有下面这个递推公式:

其中$n>=2$.

最后得到的公式也就是牛顿方法的学习规则,为了和梯度下降对比,我们来替换一下变量,公式如下:

$$\theta := \theta - \frac{f(\theta)}{f’(\theta)}$$

那么问题来了,怎么将牛顿方法应用到我们的问题上,最小化损失函数$\ell(\theta)$(或者是求极大似然估计的极大值)呢?

对于机器学习问题,现在我们优化的目标函数为极大似然估计$\ell$,当极大似然估计函数取值最大时,其导数为 0,这样就和上面函数f取 0 的问题一致了,令$f(\theta) = \ell’(\theta)$。极大似然函数的求解更新规则是:

$$\theta := \theta - \frac{\ell’(\theta)}{\ell’’(\theta)}$$

对于$\ell$,当一阶导数为零时,有极值;此时,如果二阶导数大于零,则$\ell$有极小值,如果二阶导数小于零,则有极大值。

上面的式子是当参数$\theta$为实数时的情况,下面我们要求出一般式。当参数为向量时,更新规则变为如下公式:

$$\theta := \theta - H^{-1} \nabla_{\theta}\ell(\theta)$$

其中$\nabla$后半部分$和之前梯度下降中提到的一样,是梯度,$H$是一个$n*n$的矩阵,$H $是函数的二次导数矩阵,被成为$Hessian$矩阵。其某个元素$ H_{ij}$ 计算公式如下:

$$H_{ij}=\dfrac{\partial^{2}\ell(\theta)}{\partial\theta_{i}\theta_{j}}$$

和梯度下降相比,牛顿方法的收敛速度更快,通常只要十几次或者更少就可以收敛,牛顿方法也被称为二次收敛(quadratic convergence),因为当迭代到距离收敛值比较近的时候,每次迭代都能使误差变为原来的平方。缺点是当参数向量较大的时候,每次迭代都需要计算一次 Hessian 矩阵的逆,比较耗时。

2.指数分布族(The exponential family)

指数分布族是指可以表示为指数形式的概率分布。指数分布的形式如下:

$$P(y;\eta)=b(y)exp(\eta^{T}T(y)-a(\eta))$$

其中,η成为分布的自然参数(nature parameter);T(y)是充分统计量(sufficient statistic),通常 T(y)=y。当参数 a、b、T 都固定的时候,就定义了一个以η为参数的函数族。

下面介绍两种分布,伯努利分布和高斯分布,分别把它们表示成指数分布族的形式。

伯努利分布

伯努利分布是对0,1问题进行建模的,对于Bernoulli($\varphi$),$y\epsilon{0, 1}$.有$p(y=1; \varphi ) = \varphi; p(y=0; \varphi ) = 1- \varphi$,下面将其推导成指数分布族形式:

![这里写图片描述](http://img.blog.csdn.net/20151006105233062)

将其与指数族分布形式对比,可以看出:

![这里写图片描述](http://img.blog.csdn.net/20151006105357353)

表明伯努利分布也是指数分布族的一种。从上述式子可以看到,$\eta$的形式与logistic函数(sigmoid)一致,这是因为 logistic模型对问题的前置概率估计其实就是伯努利分布。

高斯分布

下面对高斯分布进行推导,推导公式如下(为了方便计算,我们将方差 $\sigma$设置为1):

![这里写图片描述](http://img.blog.csdn.net/20151006105614842)

将上式与指数族分布形式比对,可知:

$$b(y) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}exp(-\frac{1}{2}y^{2})$$

$$T(y) = y$$

$$\eta = \mu$$

$$a(\eta)=\frac{1}{2}\mu^{2}$$

两个典型的指数分布族,伯努利和高斯分布。其实大多数概率分布都可以表示成指数分布族形式,如下所示:

  • 伯努利分布(Bernoulli):对 0、1 问题进行建模;
  • 多项式分布(Multinomial):多有 K 个离散结果的事件建模;
  • 泊松分布(Poisson):对计数过程进行建模,比如网站访问量的计数问题,放射性衰变的数目,商店顾客数量等问题;
  • 伽马分布(gamma)与指数分布(exponential):对有间隔的正数进行建模,比如公交车的到站时间问题;
  • β 分布:对小数建模;
  • Dirichlet 分布:对概率分布进建模;
  • Wishart 分布:协方差矩阵的分布;
  • 高斯分布(Gaussian);

下面来介绍下广义线性模型(Generalized Linear Model, GLM)。

3.广义线性模型(Generalized Linear Model, GLM)

你可能会问,指数分布族究竟有何用?其实我们的目的是要引出GLM,通过指数分布族引出广义线性模型。

仔细观察伯努利分布和高斯分布的指数分布族形式中的$\eta$变量。可以发现,在伯努利的指数分布族形式中,$\eta$与伯努利分布的参数$\varphi$是一个logistic函数(下面会介绍logistic回归的推导)。此外,在高斯分布的指数分布族表示形式中,$\eta$与正态分布的参数$\mu$相等,下面会根据它推导出普通最小二乘法(Ordinary Least Squares)。通过这两个例子,我们大致可以得到一个结论,$η$以不同的映射函数与其它概率分布函数中的参数发生联系,从而得到不同的模型,广义线性模型正是将指数分布族中的所有成员(每个成员正好有一个这样的联系)都作为线性模型的扩展,通过各种非线性的连接函数将线性函数映射到其他空间,从而大大扩大了线性模型可解决的问题。

下面我们看 GLM 的形式化定义,GLM 有三个假设:

  • (1) $y|x; \theta~ExponentialFamily(\eta)$;给定样本$ x $与参数$θ$,样本分类$ y$ 服从指数分布族中的某个分布;
  • (2) 给定一个 $x$,我们需要的目标函数为$h_{\theta}(x)=E[T(y)|x]$;
  • (3)$\eta=\theta^{T}x$。

依据这三个假设,我们可以推导出logistic模型与普通最小二乘模型。首先根据伯努利分布推导Logistic模型,推导过程如下:

$$h_{\theta}(x) = E[T(y)|x]=E[y|x]=p(y=1|x;\theta)$$

$$=\varphi$$

$$=\frac{1}{1+e^{-\eta}}$$

$$=\frac{1}{1+e^{-\theta^{T}x}}$$

公式第一行来自假设(2),公式第二行通过伯努利分布计算得出,第三行通过伯努利的指数分布族表示形式得出,然后在公式第四行,根据假设三替换变量得到。

同样,可以根据高斯分布推导出普通最小二乘,如下:

$$h_{\theta}(x) = E(T(y)|x)=E[y|x]$$

$$=\mu$$

$$=\eta$$

$$=\theta^{T}x$$

公式第一行来自假设(2),第二行是通过高斯分布$y|x;\theta$~$ N(\mu,\sigma^{2})$计算得出,第三行是通过高斯分布的指数分布族形式表示得出,第四行即为假设(3)。

其中,将η与原始概率分布中的参数联系起来的函数成为正则相应函数(canonical response function),如$φ =\frac{1}{1+e^{-\eta}}、μ = η$即是正则响应函数。正则响应函数的逆成为正则关联函数(canonical link function)。

所以,对于广义线性模型,需要决策的是选用什么样的分布,当选取高斯分布时,我们就得到最小二乘模型,当选取伯努利分布时,我们得到 logistic 模型,这里所说的模型是假设函数 h 的形式。

最后总结一下:广义线性模型通过假设一个概率分布,得到不同的模型,而梯度下降和牛顿方法都是为了求取模型中的线性部分$(\theta^{T}x)$的参数$\theta$的。

多分类模型-Softmax Regression

下面再给出GLM的一个例子——Softmax Regression.

假设一个分类问题,y可取k个值,即$y \epsilon{1,2,…,k}$。现在考虑的不再是一个二分类问题,现在的类别可以是多个。如邮件分类:垃圾邮件、个人邮件、工作相关邮件。下面要介绍的是多项式分布(multinomial distribution)。

多项式分布推导出的GLM可以解决多类分类问题,是 logistic 模型的扩展。对于多项式分布中的各个y的取值,我们可以使用k个参数$\phi_1,\phi_2,…,\phi_k$来表示这k个取值的概率。即

$$P(y=i) = \phi_{i}$$

但是,这些参数可能会冗余,更正式的说可能不独立,因为$\sum\phi_i=1$,知道了前k-1个,就可以通过$1-\sum_{i=1}^{k-1}\phi_{i}$计算出第k个概率。所以,我们只假定前k-1个结果的概率参数$\phi_1$,$\phi_2$,…,$\phi_{k-1}$,第k个输出的概率通过下面的式子计算得出:

$$\phi_{k} = 1- \sum_{i=1}^{k-1}\phi_{i}$$

为了使多项式分布能够写成指数分布族的形式,我们首先定义 T(y),如下所示:

![](http://img.blog.csdn.net/20151006125938706)

和之前的不一样,这里我们的$T(y)$不等$y$,$T(y)$现在是一个$k-1$维的向量,而不是一个真实值。接下来,我们将使用$(T(y))_{i}$表示$T(y)$的第i个元素。

下面我们引入指数函数I,使得:

$$I(True)=1,I(False)=0$$

这样,$T(y)$向量中的某个元素还可以表示成:

$$(T(y))_{i}=I(y=i)$$

举例来说,当$ y=2 时,T(2)_2=I(2=2)=1,T(2)_3=I(2=3)=0$。根据公式 15,我们还可以得到:

$$E[(T(y))_{i}]=\sum_{y=1}^{k}(T(y)){\phi}_i=\sum_{y=1}^{k}I(y=i)\phi_i=\phi_i$$

$$\sum_{i=1}^{k}I(y=i)=1$$

下面,二项分布转变为指数分布族的推导如下:

![这里写图片描述](http://img.blog.csdn.net/20151006131133675)

其中,最后一步的各个变量如下:

![这里写图片描述](http://img.blog.csdn.net/20151006131218488)

由$\eta$的表达式可知:

$$\eta_{i}=log\frac{\phi_{i}}{\phi_{k}}\Rightarrow \phi_{i}=\phi_{k}e^{\eta_{i}}$$

为了方便,再定义:

$$\eta_{k} = log \frac{\phi_{k}}{\phi_{k}}=0$$

于是,可以得到:

$$\sum_{j=1}^{k}\phi_{i}=\sum_{j=1}^{k}\phi_{k}e^{\eta_{i}}=1 \Rightarrow \phi_{k}=\frac{1}{\sum_{j=1}^{k}e^{\eta_{i}}}$$

将上式代入到

$$\eta_{i}=log\frac{\phi_{i}}{\phi_{k}}\Rightarrow \phi_{i}=\phi_{k}e^{\eta_{i}}$$,得到:

$$\phi_{i}=\frac{e^{\eta_{i}}}{\sum_{j=1}^{k}e^{\eta_{i}}}=\frac{e^{\eta_{i}}}{1+\sum_{j=1}^{k-1}e^{\eta_{i}}}$$

从而,我们就得到了连接函数,有了连接函数后,就可以把多项式分布的概率表达出来:

$$P(y=i)=\phi_{i}=\frac{e^{\eta_{i}}}{1+\sum_{j=1}^{k-1}e^{\eta_{i}}}=\frac{e^{\theta_{i}^{T}x}}{1+\sum_{j=1}^{k-1}e^{\theta_{j}^{T}x}}$$

注意到,上式中的每个参数$\eta_i$都是一个可用线性向量$\theta_i^Tx$表示出来的,因而这里的$\theta$其实是一个二维矩阵。

于是,我们可以得到假设函数 h 如下:

![这里写图片描述](http://img.blog.csdn.net/20151006132537928)

那么就建立了假设函数,最后就获得了最大似然估计

![这里写图片描述](http://img.blog.csdn.net/20151006132628356)

对该式子可以使用梯度下降算法或者牛顿方法求得参数$\theta$后,使用假设函数$h$对新的样例进行预测,即可完成多类分类任务。这种多种分类问题的解法被称为 softmax regression.

References


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